Comunque, puoi effettuare un backup delle e-mail comprensiva delle cartelle e del contenuto sul server che è identico in sincronizzazione all'apertura della posta, attraverso la creazione di un file con estensione .pst che può essere sia esportato sia importato.
https://support.office.com/en-us/art...C-AA1C33B18833
In futuro, ti conviene creare spesso il backup della posta per salvaguardarti da spiacevoli inconvenienti come quello che hai segnalato, anche perchè fortunatamante il tuo client di posta locale possiede tale funzionalità.
Non so se via webmail sia possibile agire per consentire una copia di backup..